如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段A
如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C...
如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).(1)当AM=0.5时,求线段QM的长;(2)点M在线段AB上运动时,是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形?若可以,请直接写出t的值(不需解题步骤);若不可以,请说明理由.(3)若△PCQ的面积为y,请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围.
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解:(1)∵AB∥DC,
∴Rt△AQM∽Rt△CAD.
∴
=
.
即
=
,
∴QM=1.
(2)∵根据题意可得当0≤t≤2时,以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形,故有两种情况:
①当∠CPQ=90°时,点P与点E重合,
此时DE+CP=CD,即t+t=2,∴t=1,
②当∠PQC=90°时,如备用图1,
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴
=
,
由(1)知,EQ=EM-QM=4-2t,
而PE=PC-CE=PC-(DC-DE)=t-(2-t)=2t-2,
∴
=
,
∴t=
;
③当2<t≤6时,
可得CD=DP=2时,∠DCP=45°,
可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,
此时t=4,
综上所述,t=1或
或4;
(3)如图1,当0≤t≤2时,点P在线段CD上,设直线l交CD于点E
由(1)可得
=
.
即
=
,
∴QM=2t.
∴QE=4-2t.
∴S△PQC=
PC?QE=-t2+2t,
即y=-t2+2t,
当6≥t>2时,如图3,过点C作CF⊥AB交AB于点F,交PQ于点H.
PA=DA-DP=4-(t-2)=6-t.
由题意得,BF=AB-AF=4.
∴CF=BF,
∴∠CBF=45°,
∴QM=MB=6-t,
∴QM=PA.
∴四边形AMQP为矩形.
∴PQ∥AB.CH⊥PQ,HF=AP=6-t
∴CH=AD-HF=t-2,
∴S△PQC=
PQ?CH=
t2?t,
即y=
t2?t,
综上所述y=-t2+2t(0<t≤2),
或y=
t2?t(2<t≤6).
∴Rt△AQM∽Rt△CAD.
∴
QM |
AM |
AD |
CD |
即
QM |
0.5 |
4 |
2 |
∴QM=1.
(2)∵根据题意可得当0≤t≤2时,以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形,故有两种情况:
①当∠CPQ=90°时,点P与点E重合,
此时DE+CP=CD,即t+t=2,∴t=1,
②当∠PQC=90°时,如备用图1,
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴
EQ |
PE |
MA |
QM |
由(1)知,EQ=EM-QM=4-2t,
而PE=PC-CE=PC-(DC-DE)=t-(2-t)=2t-2,
∴
4?2t |
2t?2 |
1 |
2 |
∴t=
5 |
3 |
③当2<t≤6时,
可得CD=DP=2时,∠DCP=45°,
可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,
此时t=4,
综上所述,t=1或
5 |
3 |
(3)如图1,当0≤t≤2时,点P在线段CD上,设直线l交CD于点E
由(1)可得
QM |
AM |
AD |
CD |
即
QM |
t |
4 |
2 |
∴QM=2t.
∴QE=4-2t.
∴S△PQC=
1 |
2 |
即y=-t2+2t,
当6≥t>2时,如图3,过点C作CF⊥AB交AB于点F,交PQ于点H.
PA=DA-DP=4-(t-2)=6-t.
由题意得,BF=AB-AF=4.
∴CF=BF,
∴∠CBF=45°,
∴QM=MB=6-t,
∴QM=PA.
∴四边形AMQP为矩形.
∴PQ∥AB.CH⊥PQ,HF=AP=6-t
∴CH=AD-HF=t-2,
∴S△PQC=
1 |
2 |
1 |
2 |
即y=
1 |
2 |
综上所述y=-t2+2t(0<t≤2),
或y=
1 |
2 |
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