Question

行列式转置值不变是否正确？

Answer 1

是的。

行列互换、行列式的值不变，就是将行列式的行式的数值不变转置为列式的数值，将列式的数值不变转置为行式，即第一行变第一列，第二行变第二列……第n行变第n列，称为行列式的转置。

行列式的变换方法：

我们称对行列式的换法变换、倍法变换、消法变换为行列式的初等变换。换法变换：交换两行（列）。

倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。

消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。

换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。

求解行列式的值时可以初等行变换和初等列变换同时使用。

Answer 2

A的行列式一定等于A的转置的行列式。

行列式的含义是体积的放大倍数，转置后，体积放大倍数也没有发生变化。

证明：

总结：

1、用一个数k乘以向量a,b中之一的a，则平行四边形的面积就相应地增大了k倍；

2、把向量a,b中的一个乘以数k之后加到另一个上，则平行四边形的面积不变；

3、以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。

行列式的性质

1、行列式A中某行 (或列) 用同一数k乘，其结果等于kA。

2、若n阶行列式|αij|中某行 (或列)；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1,с2,…,сn；其余各行(或列)上的元与|αij|的完全一样。

3、行列式A中两行 (或列) 互换，其结果等于-A。

4、把行列式A的某行 (或列) 中各元同乘一数后加到另一行 (或列) 中各对应元上，结果仍然是A。

5、若矩阵A为三角阵，则行列式等于对角元上元素的乘积。

6、矩阵AB的行列式等于A的行列式乘以B的行列式。