Question

（2013?朝阳区二模）如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD=12∠C，以AD为直径的⊙O与AB、

（2013?朝阳区二模）如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD=12∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF=43，AD=4，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴2∠B+∠C=180°，
∴∠B+

1

2

∠C=90°，
∵∠BAD=

1

2

∠C，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AD为⊙O直径的，
∴直线BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接DF，EF．

∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF=

4

3

，
∴tan∠C=tan∠ADF=

4

3

，
在Rt△ACD中，设AD=4x，则CD=3x，
∴AC=

AD2+DC2

=5x，
∴BC=5x，BD=2x，
∵AD=4，
∴x=1，
∴BD=2．