Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．（1）如图1，若点C的横坐标为-4，求

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．（1）如图1，若点C的横坐标为-4，求点B的坐标；（2）如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S△BEM：S△ABO．

Answer 1

（1）如图1，作CM⊥y轴于M，则CM=4，
∵∠ABC=∠AOB=90゜，
∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM和△ABO中

∠BMC＝∠AOB ∠CBM＝∠BAO BC＝AB

∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴OB=CM=4，
∴B（0，-4）．

（2）如图2，作CM⊥y轴，
∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°，
∠OBA+∠BAO=90°，
在△CMB和△BOA中，

∠CMO＝∠BOA＝90° ∠CBM＝∠BAO AB＝BC

，
∴△CMB≌△BOA（AAS），
∴CM=BO，AO=BM，
∵点C的纵坐标为3，
∴MO=3，
∴CM=BO=BM-MO=5-3=2，
∵CM⊥y轴，
∴△BDO∽△BCM，
∴

DO

CM

=

BO

BM

，
即DO=

2×2

5

=

4

5

，
故点D的坐标为（-

4

5

，0）．

（3）如图3，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中

∠AOB＝∠BNE ∠BAO＝∠NBE AB＝BE

∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，
∴在△BFM和△NEM中