Question

已知函数f(x)＝ax 2 －|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的

已知函数f(x)＝ax 2 －|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)＝ ，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1） （2）g(a)＝ （3）

(1)当a＝1时，f(x)＝x 2 －|x|＋1＝ 作图如下． (2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax 2 －x＋2a－1. 若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a ＋2a－ －1，f(x)图象的对称轴是直线x＝ . 当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3. 当0< <1，即a> 时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2. 当1≤ ≤2，即 ≤a≤ 时，g(a)＝f ＝2a－ －1. 当 >2，即0<a< 时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上可得g(a)＝ (3)当x∈[1，2]时，h(x)＝ax＋ －1，在区间[1，2]上任取x 1 、x 2 ，且x 1 <x 2 ， 则h(x 2 )－h(x 1 )＝ ＝(x 2 －x 1 ) ＝(x 2 －x 1 ) . 因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2 )－h(x 1 )>0. 因为x 2 －x 1 >0，x 1 x 2 >0，所以ax 1 x 2 －(2a－1)>0， 即ax 1 x 2 >2a－1. 当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立． 当a>0时，x 1 x 2 > ，由1<x 1 x 2 <4，得 ≤1，解得0＜a≤1. 当a<0时，x 1 x 2 < ，由1<x 1 x 2 <4，得 ≥4，解得－ ≤a＜0. 所以实数a的取值范围为