Question

已知椭圆C过点A（1，32），两焦点为F1（-3，0）、F2（3，0），O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与

已知椭圆C过点A（1，32），两焦点为F1（-3，0）、F2（3，0），O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点P、Q．（1）求椭圆C的方程； （2）当k=1时，求△OPQ面积的最大值；（3）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率k．

Answer 1

（1）由题意得c=

3

，
设椭圆方程为

x2

b2+3

+

y2

b2

=1…（2分）
则

1

b2+3

+

3

4b2

=1，解得b²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=x+m x2+4y2-4=0

，消去y得：5x²+8mx+4（m²-1）=0，
则△=16（5-m²）＞0，0＜m²＜5…（6分）
x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4(m2-1)

5

，
设d为点O到直线l的距离，
则S△OPQ=

1

2

d|PQ|═

1

2

?

|m|

2

2

|x1-x2|…（8分）
=

1

2

|m|

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