Question

高数积分问题求解谢谢

如图，我这样直接求他的积分不行吗，有错误吗，非要用三角函数代换吗？

Answer 1

如果你用自己上述的解答方法，得到的应该是如上图的积分，该积分很难积出来。而你写的方法是过程是错误的，-1/2t中t是要积分的变量，不能直接提出来的。

所以采用三角函数法比较简单。

该题可先求不定积分，然后再代入数值即可。该题可用x＝sint进行替换，最终得到1/2×x+1/4×sin2x+C，替换为t，则原式等于1/2arcsint+1/2×x×根号1-x^2+C，然后将t代入即可。

该题用令y＝根号1-x^2可以表示圆，求定积分即为求圆的面积，用该方法也可以。

Answer 2

直接求是错误的，没有这个积分公式。必须要用三角代换来求。

追问

你好，我这个求导就是原积分里的函数，书中有规定没有这个公式吗，积分不就是求求导之前的函数吗

追答

即使如此，你这样做等于直接用了这个结论，这个结论也不是公式，所以缺少过程。

Answer 3

let

t=sinu
dt=cosu du
t=1/2, u=π/6
t=√3/2, u=π/3
∫(1/2->√3/2) √(1-t^2) dt

=∫(π/6->π/3) (cosu)^2 du
=(1/2)∫(π/6->π/3) (1+cos2u) du
=(1/2)[u +(1/2)sin2u]|(π/6->π/3)
=(1/2){ [ π/3 +(1/2)(√3/2) ]- [ π/6 +(1/2)(√3/2) ] }
= π/12