八年级下册平行四边形数学问题
两组组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形 。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次名称。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点，否则是错误的。
平行四边形性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
矩形
性质：
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等” ）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
（简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分” ）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
此章节例题有
1．用边长分别为50cm，75cm，100cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，___________个为平行四边形。
2．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形。
3．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，连接BE，CE，则AB_________CE，AC_________BE。
4．若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足___________，从对角线的关系看应满足_______________。
5．已知E、F、G、H分别为ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______________。
二、选一选
6．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC
B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC
D．AB=AD，CB=CD
7．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
8．下列结论正确的是（ ）
A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一边长为125cm，两条对角线长分别是100cm和150cm的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
9．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．AB=CD，AD=BC
B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC
D．AB∥CD，AD∥BC
10．如图19－1－26，在ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）。
①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE。
A．①或②
B．②或③
C．③或④
D．①或③或④
11．如图19－1－27，在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则下列说法中正确的有（ ）个。
①图中共有三个平行四边形；
②AF=BF，CE=BE，AD=CD；
③EF=DE=DF；
④图中共有三对全等三角形。
A．1
B．2
C．3
D．4
三、解答题
12．如图19－1－28，在ABCD中，E，F为BD上的点，BF=DE，那么四边形AECF是什么图形？试用两种方法证明。
13．已知：在△ABC中，AB=AC，EF是△ABC的中位线，分别交AB，AC于E，F，延长AB到D，使BD=AB，连接CD。求证：。
14．如图19－1－29，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点。求证：四边形EGFH是平行四边形。
15．如图19－1－30，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。
四、思维拓展
16．如图19－1－31，在ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分。
17．如图19－1－32，△ABC是边长为100px的边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，试猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化？并说明你的理由。
五、中考热身
18．（2005年苏州市）如图19－1－33，在ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）。
A．∠1+∠2=180°
B．∠2+∠3=180°
C．∠3+∠4=180°
D．∠2+∠4=180°
答案：
1．六；三
2．AB∥CD或AD=BC
3．= ; =
4．∠A=∠C，∠B=∠D或∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°；AO=CO，BO=DO
5．平行四边形
6．C
7．B
8．C
9．C
10．D
11．B
12．平行四边形。方法一：连接AC，利用“对角线互相平分的四边形为平行四边形”来证明。
方法二：证△ABE≌△CDF， △AFD≌△CEB，利用“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”来证明。
13．提示：先证明△EBC≌△FCB，得CE=BF，再证。
14．先证△AEO≌△CFO，得OE=OF，同理可得OG=OH，所以四边形EGFH是平行四边形。
15．先证△EDB≌△CFE，可得BD=EF，ED=CF。∵BD=DA，CF=AF，∴ED=AF，EF=DA，∴四边形ADEF是平行四边形。
16．提示：连接GE，EH，HF，GF，先证GE=HF，再证GE∥HF即可。
17．其值为200px，且不随P位置的改变而变化。
理由：由△ABC为等边三角形可得△AGH也是等边三角形，
∴GH=AG=AM+MG ①，
同理，△BMN也为等边三角形，
∴MN=MB=MG+GB。②
∵MN∥AC，EF∥AB，
∴四边形AMPE为平行四边形，
∴PE=AM，同理，BFPG也为平行四边形，
∴PF=GB，
∴EF=PE+PF=AM+GB。③
①+②+③得EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2（AM+MG+GB）=2AB=2×4=200px。
18．D
常见的思想方法：等面积法，分类讨论{无图有偶}
∴ab∥dc且ab=dc
∴ae∥fc
∵ae=cf，
∴四边形aecf为平行四边形（平行四边形一对边平行且相等）
∴af∥ec，∴gf∥eh
∵eb=ab-ae df=dc-cf
∴eb=df且eb∥df
∴四边形ebfd为平行四边形，
∴ed∥df，所以eg∥hf。
∵四边形ehfg的边gf∥eh（前面已证），eg∥hf（前面已证）
∴四边形ehfg为平行四边形（平行四边形两对边分别平行）
∴AB//CD，即BE//DF,AE//CF。
∴AB=CD。
∵AE=CF，
∴BE=DF。
∵BE//DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴EG//HF。
∵AE//CF，AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形,
∴EH//GF。
∴四边形EHFG是平行四边形。
