Question

定积分计算问题 如图 圈出的地方积分限为什么可以这样变化？而且后一个式子加起来好像也并不等于前一个

定积分计算问题 如图 圈出的地方积分限为什么可以这样变化？而且后一个式子加起来好像也并不等于前一个啊怎么可以这样拆分 求点解

Answer 1

说说思路吧。
被积函数的第一项是奇函数，积分区间是对称区间，所以它的积分是0，只剩下被积函数的第二项。
剩下的积分，区间拆为0到π/2与-π/2到0，其中-π/2到0的积分换元x=-t，这样结果就是0到π/2上的两个函数相加的积分了。

Answer 2

第一个圈前等号是由于ln那个函数是奇函数，因而x^2ln(x+…)是奇函数，而积分区间是对称区间，因此这部分积分等于0。第二个等号成立是因为“对称区间、偶函数”等于一半区间上该函数积分的2倍，但等号后写成那两个函数的和是错误的！（事实上，后一项是前一项中x换成-x后的结果，作者误以为把2放进积分号内再拆成两个相等的部分即可，但殊不知这两个函数不是一个函数！）

追答

又看了一下，第二个等号可以这样得到：将该等号左边的积分写成从-pai/2到0的积分与从0但pai/2的积分这两个积分的和，然后对第一个积分作代换x=-t，得出结果后再把积分上下限对调并把变量换成x，就会发现两个积分的积分限是相同的，最后把两个积分写到一个积分号下，就是第二个等号右边的结果。

我前面那样说作者错了！抱歉！

Answer 3

解答：
你要记住定积分的这样一个性质：
∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx

证明：
∫(-a,a)f(x)dx
=∫(-a,0)f(x)+∫(0,a)f(x)dx
=∫(a,0)f(-t)d(-t)+∫(0,a)f(x)dx
=∫(0,a)f(-t)dt+∫(0,a)f(x)dx
=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx

Answer 4

拍的太不清晰了