Question

如何证明矩阵A与它的转置的乘积与A的秩相同

Answer 1

设 A是 m×n 的矩阵.可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解,好理解.2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0故两个方程是同解的.同理可得 r(AA')=r(A')另外 有 r(A)=r(A')所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

Answer 2

用特征值，A的转置和A的特征值相同，A'*A的特征值为A的特征值的平方，这样就很容易推出来了。