Question

2.求方程3x-4y=8的自然数解

Answer 1

对于方程3x - 4y = 8，如果要求自然数解，可以考虑列出方程的参数范围。由于方程中的系数和常数项都是整数，因此我们可以先假设x和y都是自然数，并试图通过参数范围的限制来求解该方程。
首先，对于3x - 4y = 8，我们可以将其变形为3x = 4y + 8，进一步得到x = (4y + 8) / 3。因为x是自然数，所以4y + 8必须是3的倍数。因此，我们可以得到以下限制条件：
4y + 8是3的倍数；
4y + 8 ≥ 0，即y ≥ -2。
结合以上两个限制条件，我们可以列出以下不等式组：
4y + 8 = 3n （n为自然数）
4y + 8 ≥ 0
y ≥ -2
解不等式组得到y的取值范围为y ≥ 1，即y可以取自然数1、2、3、……。代入原方程可得相应的x值，例如当y = 1时，有x = (4 × 1 + 8) / 3 = 4。因此，该方程的自然数解为{(4, 1), (8, 3), (12, 5), ……}。

Answer 2

将方程3x-4y=8两边同时加上4y，得到3x = 4y + 8。
因为要求自然数解，所以需要列出x和y的取值范围。
由于3x = 4y + 8，所以4y + 8必须是3的倍数。当4y + 8为最小的3的倍数时，解得y = 1。此时x = (4y + 8) / 3 = 4，满足自然数解的要求。
再考虑4y + 8为3的倍数时，y的最小取值是多少。因为4y + 8是3的倍数，所以y是3的倍数减去2。此时，y的最小取值是3，对应的x = (4y + 8) / 3 = 4。此时的解也满足自然数解的要求。
因此，方程3x-4y=8的自然数解为(x,y) = (4,1) 和 (8,3)。