Question

设曲线 L:x^2+y^2=4 则0≤z≤1,求∬dxdy？

Answer 1

这道题目需要更多的信息才能确定被积函数，因为我们需要知道在哪个区域上进行积分。
从题目中给出的条件 $0\leq z\leq 1$ 可以看出，积分区域是一个圆柱体的侧面，高为 $1$，底面半径为 $2$ 的部分。在极坐标系下，该积分区域的边界可以表示为 $0\leq r\leq 2$，$0\leq \theta\leq 2\pi$。
因为被积函数没有给出，我们可以假设被积函数是 $1$，即：
\iint_L dxdy∬Ldxdy
因为积分区域为一个圆柱体的侧面，可以使用极坐标系下的面积元素来计算积分。根据极坐标系下的面积元素，有 $dxdy = r dr d\theta$。
因此，积分可以转化为极坐标下的二重积分，即：
\iint_L dxdy = \int_0^{2\pi}\int_0^2 r dr d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{1}{2}\cdot 2^2 d\theta = 2\pi∬Ldxdy=∫02π∫02rdrdθ=∫02π21⋅22dθ=2π
因此，所求的积分结果为 $2\pi$。
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