Question

3.(9分)计算二重积分3x^2 yd,其中D是由曲线 x=y^2-1 与直线 x-y=1-|||？

Answer 1

首先，观察图形可得，曲线 $x=y^2-1$ 是一个向右开口的抛物线，而直线 $x-y=1-|||$ 可以分为两段：

当 $x-y=1-||| \geq 0$ 时，$|||=1-x+y$，直线化为 $x-y=1-(1-x+y)=2x-2y=-1$。

当 $x-y=1-||| < 0$ 时，$|||=-1+(1-x+y)=y-x$，直线化为 $x-y=1+(y-x)=2y-x-1$。

因此，$D$ 的图形如下：


接下来，确定积分范围：

从图中可以看出，$D$ 被 $y$ 轴和直线 $x=2$ 所限制，因此，$x$ 的取值范围为 $-1\leq x \leq 2$。

对于每个 $x$，$D$ 被曲线 $x=y^2-1$ 和直线 $x-y=2x-1$（或 $x-y=2y-x-1$）所限制，因此，$y$ 的取值范围为 $y_1 \leq y \leq y_2$，其中 $y_1$ 和 $y_2$ 分别为直线 $x-y=2x-1$（或 $x-y=2y-x-1$）与曲线 $x=y^2-1$ 的交点的 $y$ 坐标。

对于直线 $x-y=2x-1$，将 $y=x-2x+1$ 带入曲线 $x=y^2-1$ 得到：

$$
x=(x-2x+1)^2-1 \Rightarrow 3x^2-4x=0 \Rightarrow x=0,\frac{4}{3}
$$

代回直线方程得到交点 $(0,1)$ 和 $\left(\frac{4}{3},\frac{1}{3}\right)$。

对于直线 $x-y=2y-x-1$，将 $y=x+2y-1$ 带入曲线 $x=y^2-1$ 得到：

$$
x=(x+2y-1)^2-1 \Rightarrow 4x^2+8x-16y^2-16y+12=0
$$

将 $y$ 视为 $x$ 的函数，对上式求导，得到：

$$
8x+8\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-32y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-16=0
$$

化简得到：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{4}\cdot\frac{x+2}{x-4y+2}
$$

代入 $x-y=2y-x-1$，得到：

$$
\begin{aligned}
&x-(x+2y-1)=2(x+2y-1)-x-y-1 \\
\Rightarrow\ &x-4y+2=0
\end{aligned}
$$

代回原方程得到交点 $(2,0)$ 和 $\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)$。

综上所述，$D$ 的积分范围为：

$$
D: -1\leq x\leq 2,\quad y_1(x)\leq y\leq y_2(x) \\
y_1(x)=\begin{cases}
\sqrt{x+1}, & -1\leq x<0 \\
\dfrac{1}{2}(x+1), & 0\leq x\leq\frac{4}{3} \\
-\dfrac{1}{2}(x-2), & \frac{4}{3}<x\leq 2
\end{cases},\quad y_2(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{2}(x+1), & -1\leq x\leq\frac{2}{3} \\
\sqrt{x+1}, & \frac{2}{3}<x\leq 2
\end{cases}
$$

最后，计算积分：

$$
\begin{aligned}
&\iint\limits_D 3x^2 y\mathrm{d}A \\
=&\int_{-1}^0\int_{\sqrt{x+1}}^{\frac{1}{2}(x+1)}3x^2 y\mathrm{d}y\mathrm{d}x+\int_0^{\frac{4}{3}}\int_{\frac{1}{2}(x+1)}^{\sqrt{x+1}}3x^2 y\mathrm{d}y\mathrm{d}x+\int_{\frac{4}{3}}^2\int_{-\frac{1}{2}(x-2)}^{\sqrt{x+1}}3x^2 y\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\
=&\int_{-1}^0 \frac{3}{4}x^2\left[(x+1)^{\frac{3}{2}}-|x+1|\right]\mathrm{d}x+\int_0^{\frac{4}{3}}\frac{3}{40}(x+1)^4\mathrm{d}x+\int_{\frac{4}{3}}^2 \frac{3}{4}x^2\left[(x+1)^{\frac{3}{2}}-(x-2)^{\frac{3}{2}}\right]\mathrm{d}x \\
=&\frac{17}{8}
\end{aligned}
$$

因此，原二重积分的值为 $\frac{17}{8}$。