Question

这个等价无穷小如何证明

Answer 1

熟记常用等价无穷小量及其和差。

一般情形，使用洛必达（L\\'Hospital）法则，或者Taylor公式。

举例：x→0时，sinx－x的等价无穷小量？

方法一：设x→0时，sinx－x～Ax^k。A，k待定。由洛必达法则，

x→0时，lim（sinx－x）/Ax^k＝lim（cosx－1）/Akx^(k－1)，分子替换为等价无穷小量－1/2×x^2。得
x→0时，lim（sinx－x）/Ax^k＝－1/2Ak×lim x^(3－k)。
由此极限等于1，得k＝3，－1/2Ak＝1，A＝－1/6。

所以，x→0时，sinx－x～－1/6×x^3。

方法二：
sinx在x＝0处的Taylor公式是sinx＝x－1/3!×x^3＋1/5!×x^5+...，所以sinx－x＝－1/6×x^3－1/120×x^5+...＝－1/6×x^3(1+1/20×x^2+...)。
x→0时，括号内的函数趋向于1，所以
x→0时，sinx－x～－1/6×x^3。

Answer 2

用x的n次方来除，然后计算极限，极限存在即可证明出。如下：

追答

一般无穷小的时候一个式子总可以写成等价形式：x的多少多少次方。