aa^T显然是对称阵,且有n-1个
特征值0,和1个非0特征值是1(因为
单位向量a,满足迹tr(aa^T)=1)
因此根据特征值的定义,得知必有|E-aa^T|=0,从而立即选A
如果不懂特征值的性质,也可以用排除法来做这道题:
a为
单位列向量,则不妨设a=(0,...,1,0,...,0)^T
则aa^T只有在
对角线上有个1,其余元素都为0
从而|E-aa^T|=0 (E-aa^T是对角阵,且对角线上有一个元素为0)
E-aa^T不可逆
而
E+aa^T也是对角阵,但对角线上有个元素是2,其余都是1,因此|E+aa^T|=2,E+aa^T可逆
类似的,得知
E+2aa^T可逆
E-2aa^T可逆