一道导数题

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便漫轻答机0p
2019-07-07 · TA获得超过6216个赞
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f(x)=e^(ax)-1+ln(x+1); ①. 要求不等式 f'(x)=ae^(ax)+[1/(x+1)]=[a(x+1)e^(ax)+1]/(x+1)≧0在x∈(-1,+∞)时恒成立。当x在此范围内时,恒有x+1>0,因此只需 a(x+1)e^(ax)+1>0..............①,即只需 a(x+1)e^(ax)>-1.........②;当-10时,e^(ax)>1,x+1>1,故在a>0的条件下,不等式②恒成立;当a-1;也就是当a∈(-1,+∞)时,f(x)在区间 (-1,+∞)内是增函数。 ②。由①的分析可知:当00时,f(x)是增函数。设φ(x)=2ax;∵f(0)=φ(0)=0; 即函数f(x)与函数φ(x)在区间[0,+∞)的左端点x=0处的值相等; f'(x)=ae^(ax)+[1/(x+1)]>a+1;而φ'(x)=2a;在02a;只有a=1时才有a+1=2a=2;故当00时f'(x)>φ'(x);∴在00时不等式f(x)>φ(x)=2ax成立。【两函数f(x)与φ(x)在同一区间[a,b]的左端点的值相等,即f(a)=φ(a);而当x>a时有 f'(x)>φ'(x),即f(x)的增长率>φ(x)的增长率,故在区间(a,b]内必有f(x)>φ(x);这是一条定理】
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