Question

已知二次函数y=(x-x1)(x-x2)的图象经过点(2,m)，且0≤x1<x2<2。 若x1x2≤1，求证m<1

Answer 1

此题有误
因为y=(x-x1)(x-x2)经过点(2,m)
所以
m=(2-x1)(2-x2)
这里令x1=0.1，x2=1，则
0≤x1<x2<2和x1x2=0.1≤1，均满足
但此时
m=(2-0.1)(2-1)=1.9>1

个人猜测，正确的条件应该是x1x2≥1，下面用这个条件来证明m<1
因为x2<2，所以2-x2>0
因为m=(2-x1)(2-x2)=-(2-x2)x1+2(2-x2)，所以当x2固定时，m随着x1的增大而减小
所以给定一个x2时，x1取最小值时，m取得最大值
因为0≤x1<x2，且x1x2≥1，所以x1≥1/(x2)，因此当x1=1/(x2)时，m取得最大值
此时m=(2-x1)(2-x2)=5-2[x2+1/(x2)]
因为0≤x1<x2，若x2≤1，则0≤x1<x2≤1。此时x1x2<1与题设矛盾，所以x2>1
因此m=5-2[x2+1/(x2)]<5-2*2=1
（这里是利用a+1/a≥2，当且仅当a=1时等号成立）

Answer 2

二次函数y=(x-x1)(x-x2)的图象经过点(2,m)，
所以m=(2-x1)(2-x2)=x1x2-2(x1+x2)+4,
0≤x1<x2<2,
所以y(0)=x1x2>0,且y(2)=m>0,
x1x2≤1
无法证明m<1.