Question

设A为n阶方阵，满足A²＝E，试证：R（E＋A）＋R（E-A）＝n

Answer 1

提供两个方法
因为A^2-E=0，所以x^2-1为A的零化多项式，由于x^2-1无重因式，所以A可对角化，显然1、-1为A的特征值
设A=P^（-1）BP，其中B=diag｛Er，-Es｝，则E+A=P^（-1）（E+B）P，其中E+B=diag｛2Er，0｝
，E-A=P^（-1）（E-B）P，其中E-B=diag｛0，2Es｝根据相似矩阵秩相同，可得r（E+A）+r（E-A）=r+s=n

Answer 2

a^2=e
则
(e-a)(e+a)=e-a^2=0
则e+a的列向量，都是(e-a)x=0的解
而此方程解空间的秩是n-r(e-a)
因此r（e+a）
≤n-r(e-a)
则r(e-a)
+
r（e+a）≤n
【1】
而r(e-a)
+
r（e+a）≥r(e-a
+
e+a)
=r(2e)
=
n【2】
由【1】【2】，可得
r（e-a）+r(e+a)=n