Question

求方程5x+23y=21的整数解

Answer 1

法一：变形得x=(21-23y)/5=4+(1-23y)/5,要使x是整数，则1-23y必须为5的倍数，这样，-23y的个位数可以是4(-23y不妨认为是正数)，此时令y取-8，得x=41
，注意，x=41，y=-8仅仅是一组特解，事实上，方程5x+23y=21的整数解有无穷个，这就要求我们寻找到他的所有解的一般形式，令x=41+23n，y=-8-5n,其中n
可取任意整数，这就是方程5x+23y=21的整数解的某一种一般表达式，称之为通解，可代入方程检验。还有一点要注意23与5分别是方程中y,x的系数。
法二：这种解法让你有一种进食"智慧快餐"的味道.方程变形，5x=21-23y，这可以看作5x被23除余21，记作5x≡21(mod23)(具体情况请参考同余方面的知识),右边可以加上23的倍数(作为一个问题思考一下)，比如加上8*23，则5x≡205(mod23）,两边同时约去5(这里5与23互质，如果不是这样，就不可以约去)，得x≡41(mod23）,从而可以令x=23k+41(k是任意整数)，将其代入方程得5(23k+41)+23y=21,即23y=21-115k-205=-184-115k，故y=-8-5k。这样就得到了通解。
注：对于一般形式的不定方程ax+by=c(其中a,b,c均为整数)，若它有整数的特解
x=x0,y=y0,则其通解可表示为x=x0+bm,y=y0-am(m为任意整数)。
这样的方程叫做不定方程，它的正整数解的求法还有许多种，这里不再一一赘述。

Answer 2

由于（5，23）=1，因此该一次不定方程有解，解为：x=-23t-5，y=5t+2，其中t过全体整数；具体解答过程如下：对该不定方程用辗转相除法：x=1/5(-23y+21)=-4y+4+1/5(-3y+1)，记x(1)=1/5(-3y+1)，然后将y用x(1)表示:y=-x(1)+1/3(-2x(1)+1)，记x(2)=1/3(-2x(1)+1)，然后将x(1)用x(2)表示:x(1)=-x(2)+1/2(x(2)+1)，最后记t=1/2(x(2)+1)，这样就有x(2)=2t-1，依次将x(2)，x(1)回代，就得到y=5t+2，再由方程就得到x=-23t-5，这样就得到了这个不定方程的全部解。

Answer 3

x=21/5-23y/5=4+1/5-4y-3y/5=(4-4y)-(3y-1)/5
要使x是整数，3y-1就必须是5的整数倍，由于个位是0或5的数才能被5整除，所以y只能取2，7，12……这样一些数只要相差5就能满足条件，所以整数解有无穷多个，比如说y=2,x=-5或y=-3,x=18或y=7,x=-28等等