Question

很难很那数学题! 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=-f(x-2)

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=-f(x-2)，且在区间【0，2】上为减函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间【-8，8】上有四个不同的根X1 X2 X3 X4,则X1+X2+X3+X4 =?

Answer 1

此题是2009年山东高考试题(理科)第16题，原题是这样子:
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=-f(x-4)，且在区间【0，2】上为增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间【-8，8】上有四个不同的根X1
X2
X3
X4,则X1+X2+X3+X4
=?
【解】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=-f(x-4)，
所以f(x)=
f(4-x)，函数图像关于直线x=2对称且f(0)=0.
由f(x-4)
=-
f(x)可知:f(x-8)
=f(x)，函数周期为8.
又因函数在区间【0，4】上为增函数，所以函数在【-4,0】上也是增函数。
根据以上分析可以画出函数图像的简图。
方程f(x)=m(m>0)在区间【-8，8】上有四个不同的根X1，X2，X3，X4,
不妨设X1<X2<X3<X4,由对称性可知:X1+X2=-12，X3+X4=4，所以X1+X2+X3+X4=-8.