Question

求微分方程的通解 y"+y=cosx 步骤已有。 想问下具体的。

）∵齐次方程y"+y=0的特征方程是r²+1=0，而特征根是r=±i （复数根） ∴齐次方程y"+y=0的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数) ∵设y"+y=cosx的特解为y=Axcosx+Bxsinx 代入原方程y"+y=cosx，整理得-2Asinx+... ）∵齐次方程y"+y=0的特征方程是r²+1=0，而特征根是r=±i （复数根） ∴齐次方程y"+y=0的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数) ∵设y"+y=cosx的特解为y=Axcosx+Bxsinx 代入原方程y"+y=cosx，整理得-2Asinx+2Bcosx=cosx ==>-2A=0,2B=1 ==>A=0,B=1/2 ∴ y"+y=cosx的一个特解是y=xsinx/2 故微分方程y"+y=cosx的通解是y=C1cosx+C2sinx+xsinx/2 (C1,C2是积分常数)。 设y"+y=cosx的特解为y=Axcosx+Bxsinx 代入原方程y"+y=cosx，整理得-2Asinx+2Bcosx=cosx 就带入这里不懂。 怎么整理成-2Asinx+2Bcosx=cosx 我怎么带 都带不出这样的结果。 展开

Answer 1

y"+y=cosx的特解为y=Axcosx+Bxsinx，故y′=Acosx-Axsinx+Bsinx+Bxcosx
y〃=-Asinx-Asinx-Axcosx+Bcosx+Bcosx-Bxsinx=-2Asinx+2Bcosx-Axcosx-Bxsinx
故y〃+y=-2Asinx+2Bcosx=cosx
于是有A=0,
B=1/2
∴
y"+y=cosx的一个特解是y=(1/2)xsinx
原运算完全正确！