Question

已知f（x）是定义在R上的函数，对于任意x1、x2∈R，f（x1+x2）=f（x...

已知f（x）是定义在R上的函数，对于任意x1、x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1恒成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（2013）=2014，且f（x2-ax-3）＜3对任意x∈（-1，1）恒成立，则实数a的取值范围为_____．

Answer 1

[-4，4]
解：任意取x1、x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）=f（x2-x1）-1，
∵x＞0时，f（x）＞1，且x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）-1＞1-1=0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）是定义在R上的增函数，
由f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，得
f（2013）=f（2012）+f（1）-1
=f（2011）+2f（1）-2
=f（2010）+3f（1）-3
=…
=2013f（1）-2012，则2013f（1）-2012=2014，
∴f（1）=2，
∴3=f（1）+f（1）-1=f（2），
∴f（x2-ax-3）＜3对任意x∈（-1，1）恒成立，即f（x2-ax-3）＜f（2）对任意x∈（-1，1）恒成立，
又f（x）在R上递增，
∴x2-ax-3＜2对任意x∈（-1，1）恒成立，即x2-ax-5＜0对任意x∈（-1，1）恒成立，
则有{(-1)2-a(-1)-5≤012-a•1-5≤0，即{a-4≤0-a-4≤0，解得-4≤a≤4，
故答案为：[-4，4]．