Question

设f(x)=2^x - x^2,证明f(x)=0在(-3,3)内至少有两个实根

Answer 1

问：设f(x)=2^x - x^2,证明f(x)=0在(-3,3)内至少有两个实根

答：方法一：一元三次方程一定有实根,f(x)＝x^3－3x＋c在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f'(x)＝3x^2－3,当0＜x＜1时,f'(x)＜0,单调减少,所以f(x)＝x^3－3x＋c在(0,1)内至多有一个零点,所以方程x^3-3x+c=0在区间（0,1）内不可能有两个不同的实根方法二：反证法设方程x^3-3x+c=0在区间（0,1）内有两个不同的实根x1,x2,假设x1＜x2,则f(x)＝x^3－3x＋c在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,f(x1)＝f(x2),由罗尔中值定理,f'(x)在(x1,x2)内有零点.但是f'(x)＝3x^2－3,在(x1,x2)内,f'(x)＜0.矛盾.所以方程x^3-3x+c=0在区间（0,1）内不可能有两个不同的实根

问：为什么是一元三次？f（x）=2^x-x^2

答：公式是这样的亲