Question

分子分母可以让其中一个进行等价无穷小替换吗？

如图，这里x趋向0的时候分母中ln(1+ x)可以替换成x 吗？

Answer 1

可以。只是不能拘泥于“x→0时，ln(1+x)~x”而已。
事实上，x→0时，ln(1+x)=x+O(x)=x-x²/2+O(x²)=x-x²/2+x³/3+O(x³)=……。∴x、x-x²/2、x-x²/2+x³/3、…，均为ln(1+x)的等价无穷小量【满足等价无穷小量的定义】。
本题中，取ln(1+x)~x-x²/2。易得，原式=1/2。

Answer 2

方法如下，
请作参考：

Answer 3

可用替换：ln(1+x)=x-(x²/2)；也就是说要取ln(1+x)的麦克劳林展开式的前两项；
原因是：若取ln(1+x)=x，那么分子直接变成x-x=0; 是不可以的；
x→0lim[x-ln(1+x)]/[xln(1+x)]=x→0lim[x-(x-x²/2)]/[x(x-x²/2)]=x→0lim[(x²/2)/(x²-x³/2)
=x→0lim[1/(2-x)=1/2；
可以用洛必达验算。x→0lim[x-ln(1+x)]/[xln(1+x)]【0/0型】
=x→0lim[1-1/(1+x)]/[ln(1+x)+x/(1+x)]=x→0lim[x/[(1+x)ln(1+x)+x]【0/0型】
=x→0lim{1/[ln(1+x)+1+1]=1/2；

Answer 4

那么分子和分母必须同时替换还是只能替换一个呢？可以更换一个，也可以更换两个，这取决于方便。但是 lim (sinx -tanx )/ [√(1+x∧2) -1)√(1+sinx) -1 ] 可以用 x 替换 sinx 吗？不，请注意它是分子或分母，而不是分子和分母中的一个或多个。这是一个完全不同的概念。例如sinx和x是等价的，但是(sinx-tanx)=-sinx(1-cosx)=-2sinx sin^2(x/2)，相当于-2x(x/2)^2 =-1 / 2x^3，是比 x 高阶的无穷小。如果把sinx换成x，然后计算x-tanx，结果会不一样，这显然是错误的。如果可以用这种方式将tanx替换为x，则分子为零，最终导致无法计算，或者报错。在阅读了您对这个问题的进一步帮助后，我将补充： 等效无穷小不完全相等，但两者的商的极限是 1，所以在进行乘法和除法时，可以在不改变求结果的情况下替换它们限制。做加减法时，两者之差不一定为零。它很可能是一个高阶无穷小，不能直接替换。直接替换通常会导致计算出的差异为零（实际上不是零）。

Answer 5

进行等价无穷小替换的必要条件是变换位置必须是相乘的几个多项式，也就是说这里分子是相减的，不可以直接使用等价无穷小替换，分母相乘则可以直接ln(1+x)～x，一般相加减的情况会转化相乘再使用等价无穷小替换