高等数学之罗尔中值定理(看不懂,题来凑)
1个回答
展开全部
定理:如果函数 y = f(x)满足下列条件:
(1)在闭区间 [a,b] 上连续;(啥叫连续你要是不知道就去百度,百度还不知道你看我文章呗)
(2)在开区间(a,b)内可导;(可导你要是不知道,我giao)
(3)f(a) = f (b),
则在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ,使得 f ' (ξ)=0
上个图:
例1:函数f(x)= 在区间 [0,2]上满足罗尔定理条件的ξ=?
解:闭区间连续f(0)=f(2)
开区间可导 f '(x)= , 得x=1,即ξ=1
例2:函数f(x)= 在区间[0,3]上满足罗尔定理,则ξ=?
解:闭区间连续 f(0)=f(3)
开区间f'(x)= =0
得x=2, 即ξ=2
(1)构造辅助函数
-------将 ξ 换为 x
-------移项,使等式的一端为0
-------找出非零端的原函数f(x)
(2)验证罗尔定理的三个条件
(3)由罗尔定理得结论
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0, f(1)=2 证明在(0,1)内至少存在一点 ξ使得 f'( ξ)=2 ξ + 1
证明:
[1]构造辅助函数
(1)f'(x)=2x+1(将 ξ 换为 x)
(2)f'(x)-2x+1=0(移项,使等式的一端为0)
(3) (找出非零端的原函数f(x))
令
[2]验证罗尔中值定理的三个条件
因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导;
所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导;
原函数 :
F(0)=f(0)-0-0=0; (看到这里要是看蒙了,你就看看原题 f(0) 和f(1)的条件)
F(1)=f(1)-1-1=2-1-1=0;
所以F(0)=F(1)
[3]由罗尔中值定理可知:
至少存在一个 ξ∈(0,1),使得 f'(ξ)=0。
即 f'( ξ)-2 ξ + 1 f'( ξ)=2 ξ + 1
设函数f(x)在闭区间[2,4]上连续,在开区间(2,4)内可导,且f(2)=1, f(4)=4 证明∃ξ(2,4),使得 '(ξ)=
证明:
[1]构造辅助函数
(1)f'(x)=
x f '(x)=2 f(x)(将 ξ 换为 x)
(2)x f '(x)-2 f(x)=0(移项,使等式的一端为0)
(3)F(x)= (找出非零端的原函数f(x))
[2]验证罗尔中值定理的三个条件(三个条件看最上面)
因为f(x)在[2,4]上连续,在(2,4)内可导;
所以F(x)在[2,4]上连续,在(2,4)内可导;
原函数 :
(看到这里要是看蒙了,你就看看原题 f(2) 和f(4)的条件)
=
所以F(2)=F(4)
[3]由罗尔中值定理可知:
∃ξ(2,4),使得 f'(ξ)=0
(这里还有,不知道什么情况,公式输出不了了,结果很简单,你不会的话,评论我再添上)
(1)在闭区间 [a,b] 上连续;(啥叫连续你要是不知道就去百度,百度还不知道你看我文章呗)
(2)在开区间(a,b)内可导;(可导你要是不知道,我giao)
(3)f(a) = f (b),
则在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ,使得 f ' (ξ)=0
上个图:
例1:函数f(x)= 在区间 [0,2]上满足罗尔定理条件的ξ=?
解:闭区间连续f(0)=f(2)
开区间可导 f '(x)= , 得x=1,即ξ=1
例2:函数f(x)= 在区间[0,3]上满足罗尔定理,则ξ=?
解:闭区间连续 f(0)=f(3)
开区间f'(x)= =0
得x=2, 即ξ=2
(1)构造辅助函数
-------将 ξ 换为 x
-------移项,使等式的一端为0
-------找出非零端的原函数f(x)
(2)验证罗尔定理的三个条件
(3)由罗尔定理得结论
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0, f(1)=2 证明在(0,1)内至少存在一点 ξ使得 f'( ξ)=2 ξ + 1
证明:
[1]构造辅助函数
(1)f'(x)=2x+1(将 ξ 换为 x)
(2)f'(x)-2x+1=0(移项,使等式的一端为0)
(3) (找出非零端的原函数f(x))
令
[2]验证罗尔中值定理的三个条件
因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导;
所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导;
原函数 :
F(0)=f(0)-0-0=0; (看到这里要是看蒙了,你就看看原题 f(0) 和f(1)的条件)
F(1)=f(1)-1-1=2-1-1=0;
所以F(0)=F(1)
[3]由罗尔中值定理可知:
至少存在一个 ξ∈(0,1),使得 f'(ξ)=0。
即 f'( ξ)-2 ξ + 1 f'( ξ)=2 ξ + 1
设函数f(x)在闭区间[2,4]上连续,在开区间(2,4)内可导,且f(2)=1, f(4)=4 证明∃ξ(2,4),使得 '(ξ)=
证明:
[1]构造辅助函数
(1)f'(x)=
x f '(x)=2 f(x)(将 ξ 换为 x)
(2)x f '(x)-2 f(x)=0(移项,使等式的一端为0)
(3)F(x)= (找出非零端的原函数f(x))
[2]验证罗尔中值定理的三个条件(三个条件看最上面)
因为f(x)在[2,4]上连续,在(2,4)内可导;
所以F(x)在[2,4]上连续,在(2,4)内可导;
原函数 :
(看到这里要是看蒙了,你就看看原题 f(2) 和f(4)的条件)
=
所以F(2)=F(4)
[3]由罗尔中值定理可知:
∃ξ(2,4),使得 f'(ξ)=0
(这里还有,不知道什么情况,公式输出不了了,结果很简单,你不会的话,评论我再添上)
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询