高等数学之罗尔中值定理(看不懂,题来凑)

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2022-07-13 · TA获得超过6187个赞
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定理:如果函数 y = f(x)满足下列条件:

(1)在闭区间 [a,b] 上连续;(啥叫连续你要是不知道就去百度,百度还不知道你看我文章呗)

(2)在开区间(a,b)内可导;(可导你要是不知道,我giao)

(3)f(a) =   f  (b),

则在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ,使得  f ' (ξ)=0

上个图:

例1:函数f(x)= 在区间  [0,2]上满足罗尔定理条件的ξ=?

解:闭区间连续f(0)=f(2)

开区间可导 f '(x)= ,  得x=1,即ξ=1

例2:函数f(x)= 在区间[0,3]上满足罗尔定理,则ξ=?

解:闭区间连续 f(0)=f(3)

开区间f'(x)= =0

得x=2,  即ξ=2

(1)构造辅助函数

-------将 ξ 换为 x

-------移项,使等式的一端为0

-------找出非零端的原函数f(x)

(2)验证罗尔定理的三个条件

(3)由罗尔定理得结论

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,   f(1)=2    证明在(0,1)内至少存在一点 ξ使得  f'( ξ)=2 ξ + 1

证明:

[1]构造辅助函数

(1)f'(x)=2x+1(将 ξ 换为 x)

(2)f'(x)-2x+1=0(移项,使等式的一端为0)

(3) (找出非零端的原函数f(x))



[2]验证罗尔中值定理的三个条件

因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导;

所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导;

原函数 :

 F(0)=f(0)-0-0=0;    (看到这里要是看蒙了,你就看看原题   f(0)  和f(1)的条件)

F(1)=f(1)-1-1=2-1-1=0;

所以F(0)=F(1)

[3]由罗尔中值定理可知:

至少存在一个 ξ∈(0,1),使得 f'(ξ)=0。

即     f'( ξ)-2 ξ + 1     f'( ξ)=2 ξ + 1

设函数f(x)在闭区间[2,4]上连续,在开区间(2,4)内可导,且f(2)=1,   f(4)=4    证明∃ξ(2,4),使得   '(ξ)=

证明:

[1]构造辅助函数

(1)f'(x)=

          x f '(x)=2 f(x)(将 ξ 换为 x)

(2)x f '(x)-2 f(x)=0(移项,使等式的一端为0)

(3)F(x)= (找出非零端的原函数f(x))

[2]验证罗尔中值定理的三个条件(三个条件看最上面)

因为f(x)在[2,4]上连续,在(2,4)内可导;

所以F(x)在[2,4]上连续,在(2,4)内可导;

原函数 :

  (看到这里要是看蒙了,你就看看原题   f(2)  和f(4)的条件)

=

所以F(2)=F(4)

[3]由罗尔中值定理可知:

∃ξ(2,4),使得  f'(ξ)=0 

(这里还有,不知道什么情况,公式输出不了了,结果很简单,你不会的话,评论我再添上)
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