Question

求｜a-1｜+｜a+2｜+｜a-3｜+｜a+4｜+｜a-5｜+...+｜a+2n｜+｜a-(2n+1)｜最小值

Answer 1

把每个绝对值的零点按从小到大排列，
－2n，－2n＋2，。。。，－4，－2，1，3，。。。，2n－1，2n＋1，
一共 2n＋1 个，最中间的是 1，
所以 a＝1 时，所求最小值为
2＋3＋4＋。。。＋(2n＋1)
＝n(2n＋3)

Answer 2

要求表达式的最小值，我们可以观察到在绝对值符号中，a与每个数之间都有一种"正负"交替的关系。当a取特定值时，我们可以简化这个表达式。
当a在(-2n-1, -2n]范围内时，|a-(2n+1)|的值为2n+1-a。
当a在(-2n, -2n+1]范围内时，|a+2n|的值为a+2n。
以此类推，当a在(-2, -1]范围内时，|a+2|的值为a+2。
当a在(-1, 0]范围内时，|a-1|的值为1-a。
当a在(0, 1]范围内时，|a-1|的值为a-1。
以此类推，当a在(2n-1, 2n]范围内时，|a-(2n-1)|的值为2n-a。
由此可知，每2个数为一组，其中一个是正数，另一个是负数。为了使得表达式的值最小，我们应该让每组中正数和负数的绝对值尽可能接近。所以，a取值为0时，每一组中正数和负数的绝对值之和是最小的。
因此，表达式的最小值是：|0-1|+|0+2|+|0-3|+|0+4|+...+|0+2n|+|0-(2n+1)|，化简后为：1+2+3+4+...+2n+(2n+1)。
最终，表达式的最小值为 (n+1)(2n+1)。