求高一数学函数的单调性的例题及分析

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2022-09-08 · TA获得超过6188个赞
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例1】判断下列各式,哪个能确定y是x的函数?为什么?
(1)x2+y=1
(2)x+y2=1
解 (1)由x2+y=1得y=1-x2,它能确定y是x的函数.
于任意的x∈{x|x≤1},其函数值不是唯一的.
【例2】下列各组式是否表示同一个函数,为什么?
解 (1)中两式的定义域部是R,对应法则相同,故两式为相同函数.
(2)、(3)中两式子的定义域不同,故两式表示的是不同函数.
(4)中两式的定义域都是-1≤x≤1,对应法则也相同,故两式子是相同函数.
【例3】求下列函数的定义域:
【例4】已知函数f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:
求实数a的取值范围.
为所求a的取值范围.
【例6】求下列函数的值域:
(1)y=-5x2+1
(3)y=x2-5x+6,x∈[-1,1)
(4)y=x2-5x+6,x∈[-1,3]
(9)y=|x-2|-|x+1|
解 (1)∵x∈R,∴-5x2+1≤1,值域y≤1.
(6)定义域为R
定义域x≠1且x≠2
(y-4)x2-3(y-4)x+(2y-5)=0 ①
当y-4≠0时,∵方程①有实根,∴Δ≥0,
即9(y-4)2-4(y-4)(2y-5)≥0
化简得y2-20y+64≥0,得
y<4或y≥16
当y=4时,①式不成立.
故值域为y<4或y≥16.
函数y在t≥0时为增函数(见图2.2-3).
去掉绝对值符号,
其图像如图2.2-4所示.
由图2.2-4可得值域y∈[-3,3].
说明 求函数值域的方法:
1°观察法:常利用非负数:平方数、算术根、绝对值等.(如例1,2)
2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题,常用配方,借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理.假如求函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),在给定区间[m,n]的值域(或最值),分三种情况考虑:
(如例5)可做公式用.
法求y的范围(如例6-7).
为二次函数求值域.但要注意中间量t的范围(如例6-8).
6°分离有界变量法:从已知函数式中把有界变量解出来.利用有界变量的范围,求函数y的值域(如例6-6).
7°图像法(如例6-9):
由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻,它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解.
解 (2)∵f(-7)=10,∴f[f(-7)]=f(10)=100.
说明 本例较简单,但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义.求分段函数值时,要注意在定义域内进行.
【例8】根据已知条件,求函数表达式.
(1)已知f(x)=3x2-1,求①f(x-1),②f(x2).
(2)已知f(x)=3x2+1,g(x)=2x-1,求f[g(x)].
求f(x).
(4)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x).
(5)设周长为a(a>0)的等腰三角形,其腰长为x,底边长为y,试将y表示为x的函数,并求它的定义域和值域.
(1)分析:本题相当于x=x-1时的函数值,用代入法可求得函数表达式.
解 ∵f(x)=3x2-1
∴f(x-1)=3(x-1)2-1=3x2-6x+2
f(x2)=3(x2)2-1=3x4-1
(2)分析:函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式,∴仍用代入法求解.
解 由已知得f[g(x)]=3(2x-1)2+1=12x2-12x+4
法(或观察法).
∴x=(t+1)2代入原式有f(t)=(t+1)2-6(t+1)-7
=t2-4t-12 (t≥-1)
即f(x)=x2-4x-12 (x≥-1)
说明 解法二是用的换元法.注意两种方法都涉及到中间量的问题,必须要确定中间量的范围,要熟练掌握换元法.
(4)分析:本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系数法求解.
解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
由f(0)=2,得c=2.由f(x+1)-f(x)=x-1,得恒等式2ax+
说明 待定系数是重要的数学方法,应熟练掌握.
∵2x+y=a,∴y=a-2x为所求函数式.
∵三角形任意两边之和大于第三边,
∴得2x+2x>a,又∵y>0,
说明 求实际问题函数表达式,重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式,其定义域与值域,要考虑实际问题的意义.
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