Question

矩形微元里为啥dy是宽度

Answer 1

积分符号∫看起来像一个大的S。当一个叫戈特弗里德-莱布尼茨的德国人发展微积分时，他认为积分是一个无限的和。dx "代表Δx，即每个矩形的宽度，它现在是无限小的。这个 "dx "被称为微分。

Answer 2

简单的说，微分就是求近似值，积分就是求准确值。

巨大八爪鱼：微分dx、dy表示什么含义？不定积分为什么含有dx？把一个量设为dx又是什么意思？
并且不定积分是微分的逆运算，不是求导的逆运算。例如，因为d(sinx+C)=cosxdx，所以∫cosxdx=sinx+C。因为d(lnx+C)=dx÷x，所以∫(dx÷x)=lnx+C（x>0）。由此可以得出：∫dx=x（令C=0）。
若y=x²，则dy=2xdx，其含义是：y的改变量的近似值等于x的初值的两倍乘上x的改变量。
那么dy÷dx=2x的含义就是：y的改变量的近似值除以x的改变量等于x的初值的两倍。 d(lnx)=dx÷x的含义：lnx的改变量的近似值等于x的改变量除以x的初值。

 的含义：当x的改变量趋于0时y的改变量的准确值除以x的改变量，等于任何情况下y的改变量的近似值除以x的改变量。

微分学中规定自变量的微分等于自变量的改变量（也叫增量），即dx=△x。
但△y表示函数值的改变量的准确值，dy表示函数值的改变量的近似值。

莱布尼茨微分三角形
若y=x²，当x的初值为5，x的改变量dx=△x=2时，x是由5变到7，函数值y则是由25变到49。
此时y的改变量的准确值△y=49-25=24，但y的改变量的近似值dy=2xdx=2×5×2=20。
函数y=x²在x=5处的微分记作  。
注意：x²的微分必须写成d(x²)，不能写成dx²。微分运算的优先级高于乘方，先微分后乘方。dx²表示(dx)²，d²y÷(dx)²表示y的二阶微分除以x的改变量的平方。

定积分就是已知近似值，求准确值。例如，已知y的改变量的近似值是2xdx，那么当x从5变到7时，y的改变量的准确值就是  。
其中2x叫做被积函数，2xdx叫做被积表达式。被积表达式的值为2×5×(7-5)=20。
也就是说，在定积分中，被积表达式表示的是y的改变量的近似值，下限表示x的初值，上限表示x的末值，上限减去下限表示x的改变量，积分结果是y的改变量的准确值。
注意：像  这样的积分表达式，规定上下限指的是x的值，这里 ，被积表达式的值为  。定积分用凑微分法，不用变上下限。但凑微分后，被积表达式的值会改变，因为已经有部分因式被积出来了，被积表达式的值（近似值）比以前更接近准确值了。