Question

求证：三次根号2是无理数

Answer 1

所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。
利用这个主要区别，可以证明三次根号2是无理数。

证明：假设三次根号2不是无理数，而是有理数。
既然三次根号2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
三次根号2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 三次根号2=p/q 两边三次方
得 2=(p^3)/(q^3)
即 2(q^3)=p^3
由于2q^3是偶数，p 必定为偶数，设p=2m
由 2(q^3)=8(m^3)
得 q^3=4m^3
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设三次根号2是有理数引起的。因此三次根号2是无理数。

Answer 2

哈哈，我做过，正确的反证法如下：
假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m是偶数
假设m=2k，那么2*n^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，与原设相矛盾
故根号2是无理数