Question

关于线性代数的一道题目,急求详细过程,谢谢!如图.

麻烦各位数学大神了

Answer 1

A14+A24+A34+A44等于把D的第四列换成四个1的四阶行列式，因为二、四列成比例，所以结果是0

追问

你好,请问是什么意思? 能写一下详细的过程吗?麻烦你啦

追答

A14,A24,A34,A44为D的第四列元素的代数余子式。根据行列式按某一列展开定理，D=a14×A14+a24×A24+a34×A34+a44×A44。那么A14+A24+A34+A44=1×A14+1×A24+1×A34+1×A44是第四列为1111，其余列与D相同的四阶行列式。

追问

为什么是"那么A14+A24+A34+A44=1×A14+1×A24+1×A34+1×A44"?还是不太明白喔.

追答

那还是先按常见思维方式，如果把D的第四列换成了1111，将这个新的行列式按第四列展开的式子是什么？是不是A14+A24+A34+A44？反推回去，不就是我们做题的方式吗？
由此我们就发现，要计算a×A14+b×A24+c×A34+d×A44，只要把行列式中代数余子式对应的元素(这里就是第四列)换成表达式中的系数a,b,c,d，计算即可。

类似于的a×A11+b×A21+c×A31+d×A41等等这种式子都可计算了，就看代数余子式对应的哪一行或列。再进一步，如果用到的余子式而不是代数余子式，补充符号就是了。比如计算M14+M24+M34+M44，我们可以把它写成-A14+A24-A34+A44，只要把第四列换成-1,1,-1,1即可。

追问

那怎么将第四列变成1111？

追答

换

追问

怎么换?能写一下过程吗?就是换这里不懂

追答

我说的是换，不是变换，OK？就是把原来位置上的数写成1就是了

追问

直接换成1? 可以这样的吗? 根据是什么? 因为不太懂,所以才问了这么久不好意思喔

追答

就是使用展开定理，两个方向的用法，一个是知道行列式，将其按某一行或某一列展开。一个是知道展开式，把它还原成行列式。这里就是后一个做法。
把四阶行列式D按第四列展开，得D=a14A14+a24A24+a34A34+a44A44。现在如果保持第一二三列元素不变，让a14=b1,a24=b2,a34=b3,a44=b4，那么这个新的行列式记作D1吧，按第四列展开，结果应该是D1=b1*B14+b2*B24+b3*B34+b4*B44，其中B14，B24，B34，B44是D1中的代数余子式。因为D1的第一二三列与D是完全一样的，而代数余子式只用到第一二三列元素，所以两组代数余子式是一样的，这样就有了D1=b1*A14+b2*A24+b3*A34+b4*A44，这个式子与前面的D=a14A14+a24A24+a34A34+a44A44唯一的区别就是，两个行列式的第四列元素变了。
对于这个题来说，不就是知道了D=a14A14+a24A24+a34A34+a44A44，让你求=b1*A14+b2*A24+b3*A34+b4*A44吗？你构造出D1来不就可以了

追问

完全明白了!谢谢!