Question

一道二次函数题

已知抛物线y=x^2-2x-3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D，若点P是第四象限抛物线上的动点，求使△PBC的面积达到最大值点P的坐标。

Answer 1

如图所示

二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax2+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线  。[3]对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

Answer 2

答：
抛物线y=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)
与x轴的交点A（-1,0）、B（3,0）
与y轴的交点C（0，-3）
所以：直线BC为y=x-3，x-y-3=0
设第四象限抛物线上的点P为（p，p^2-2p-3），0<p<3
因为：三角形PBC底边BC的长度是定值
所以：当点P到BC直线距离d最大时，三角形PBC的面积最大
d=|p-(p^2-2p-3)-3|/√(1^2+1^2)
=|p^2-3p|/√2
=-(p^2-3p)/√2
当且仅当p=3/2时，d取得最大值为d(3/2)=-(9/4-9/2)/√2=9√2/8
所以：点P为（3/2，-15/4）

追问

d=|p-(p^2-2p-3)-3|/√(1^2+1^2)的依据？

追答

点到直线的距离公式

Answer 3

解：易得：A（-1,0） B（3,0） C（0，-3） D（1，-4）
设点P坐标为（x,y）(0＜x＜3），由点P在抛物线y=x²-2x-3上得y=x²-2x-3
S△PCB=S△PCO+S△PBO-S△BOC
=- 3/2·x - 3/2·（x²-2x-3）- 9/2
= -3/2·x² + 3/2·x
= -3/2（x-1/2）² +3/8
显然，当x=1/2时，S最大=3/8
此时，点P坐标为（1/2，-15/4）。