Question

急！大学概率学题目！！最佳大大有赏

n个人，每人各有1枚公正硬币。每回合全部人（n人）同时扔各自硬币：
-如果结果只有一个正面和（n-1）个反面，掷到正面的人赢
-如果结果只有一个反面和（n-1）个反面，掷到反面的人赢
-否则进行下一回合

At为恰好t回合选出胜者的事件，Bt为多于t回合选出胜者的事件。

(a) 求P(At)
(b) 证明：当n→∞时，P(At) = o(1)
(c) 求P(Bt)
(d) 证明：当n→∞时，P(Bn)～1。（提示：用对数求极限，再用洛必达法则）

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本题原文为英文，想看原文的请到此处：
http://i37.tinypic.com/1193xbp.jpg

请给出具体解释！
谢谢了！最佳答案追加！我7000多分终于可以派上用场了～～～
谢谢小南VS仙子的解答！！
我想知道你(b)部分求极限时为什么就变成lim[n/2^(n-1)]-lim[n^2/2^(n-1)]^t 了？我用替代法：k=n/2^(n-1)，k->0，就得到极限了，不需要洛必达法则。

至于其他人，不要以为我看不出你们copy&paste了。这种伎俩在我回答问题的时候看得太多了。but you got 2 points from merely responding, good enough for you~

Answer 1

利用n个硬币从n个人中选出1个！
每个回合为独立事件！该回合结束选拔的概率为：
2*C(n,1)*(1/2)^n=2n/2^n=n/2^(n-1)
（提示：结束选拔意味着该回合只有1正，其余反，或者1反，其余正
每种情况得到唯一的人选择性有：n个！）

所以第t回合恰好选出胜者的概率为：
P(At) ={[1-n/2^(n-1)]^(t-1)}*n/2^(n-1)

b)

当n→∞时
limP(At) =lim[n/2^(n-1)]-lim[n^2/2^(n-1)]^t
用洛必达法则
limP(At) =lim[1/2^(n-1)]-{lim[2t/2^(n-1)]}^t
再用：
limP(At) =lim[1/2^(n-1)]-{lim[2/2^(n-1)]}^t
所以：
当n→∞时
limP(At) =lim[1/2^(n-1)]-{lim[2/2^(n-1)]}^t
=0-0=0
即：当n→∞时，P(At) = o(1)

c)
求出t=1.2....t时的概率和S
P(Bt) =1-S
而：
S={[1-n/2^(n-1)]^(1-1)}*n/2^(n-1)+{[1-n/2^(n-1)]^(2-1)}*n/2^(n-1)
+...+{[1-n/2^(n-1)]^(t-1)}*n/2^(n-1)
=t*n/2^(n-1) -{[n/2^(n-1)]^0+[n/2^(n-1)]^1+..+[n/2^(n-1)]^(t-1)}
=nt/2^(n-1)-n/2^(n-1)*{1-[n/2^(n-1)]^t}/[1-n/2^(n-1)]
=nt/2^(n-1)-n*{1-[n/2^(n-1)]^t}/[2^(n-1)-n]

P(Bt) =1-S
=1-nt/2^(n-1)+n*{1-[n/2^(n-1)]^t}/[2^(n-1)-n]

P(Bt)=1-P(A1)-P(A2)....-P(At)
而前面已经证明当n→∞时，P(At) = o(1)
所以：当n→∞时，P(A1)。P(A2)，....P(At)均为0
所以P(Bt)=1

如果觉得不严格，就洛必达＋洛必达＋洛必达好了！
呵呵！~

Answer 2

当n→∞时
limP(At) =lim[n/2^(n-1)]-lim[n^2/2^(n-1)]^t
用洛必达法则
limP(At) =lim[1/2^(n-1)]-{lim[2t/2^(n-1)]}^t
再用：
limP(At) =lim[1/2^(n-1)]-{lim[2/2^(n-1)]}^t
所以：
当n→∞时
limP(At) =lim[1/2^(n-1)]-{lim[2/2^(n-1)]}^t
=0-0=0
即：当n→∞时，P(At) = o(1)

Answer 3

1. P=n*(1/2)^n*2=n*(1/2)^(n-1)
P(At)={[1-n*(1/2)^(n-1)]^(t-1)}*n*(1/2)^(n-1)
2. n→∞

Answer 4

(a)、 P(At)=[1-(1/2)^(n-1)]^t
(c) P(Bt)=1- [1-(1/2)^(n-1)]^t-[1-(1/2)^(n-1)]^(t-1)....-[1-(1/2)^(n-1)]

Answer 5

P=n*(1/2)^n*2=n*(1/2)^(n-1)

Answer 6

设一只昆虫所生的虫卵数ξ服从泊松分布P(λ)，而每个虫卵发育为幼虫的概率等于p，而且各个虫卵能否发育为幼虫是相互独立的。求一只昆虫所生幼虫数η的概率分布。

书后给的答案是，η服从P(kλ)的泊松分布。不懂，请帮忙给出解题过程。