已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.(Ⅰ)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;(Ⅱ)
已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.(Ⅰ)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;(Ⅱ)设过P直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=...
已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.(Ⅰ)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;(Ⅱ)设过P直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆的方程;(Ⅲ)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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(Ⅰ)设直线l的斜率为k(k存在)则方程为y-0=k(x-2).
又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3,
由
=1,解得k=-
.
所以直线方程为y=-
(x-2),即3x+4y-6=0;
当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件;
(Ⅱ)由于|CP|=
,而弦心距d=
=
,
所以d=|CP|=
,所以P为MN的中点,
所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为
|MN|=2,
故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4;
(Ⅲ)把直线ax-y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,
故△=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l2上.
所以l2的斜率kPC=-2,
而kAB=a=-
,
所以a=
.
由于
?(-∞,0),
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3,
由
|3k+2-2k| | ||
|
3 |
4 |
所以直线方程为y=-
3 |
4 |
当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件;
(Ⅱ)由于|CP|=
5 |
r2-(
|
5 |
所以d=|CP|=
5 |
所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为
1 |
2 |
故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4;
(Ⅲ)把直线ax-y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,
故△=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l2上.
所以l2的斜率kPC=-2,
而kAB=a=-
1 |
kPC |
所以a=
1 |
2 |
由于
1 |
2 |
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
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