Question

【解析图片】设二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）

【解析图片】设二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x 2 -3x+3恒成立．（1）求f（x）的表达式；（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x 1 ，x 2 ，试问：是否存在实数m，使得不等式m 2 +tm+1≤|x 1 -x 2 |对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由x-1=x 2 -3x+3可得x=2， 故由题可知1≤f（2）≤1， 从而f（2）=1． 因此 a-b+c=0 4a+2b+c=1 ， 故b= 1 3 -a，c= 1 3 -2a．由x-1≤f（x） 得ax 2 -（ 2 3 +a）x+ 4 3 -2a≥0对x∈R恒成立， 故△=（ 2 3 +a） 2 -4a（ 4 3 -2a）≤0， 即9a 2 -4a+ 4 9 ≤0， 解得a= 2 9 ， 故f（x）= 2 9 x 2 + x 9 - 1 9 （2）由 2 9 x 2 + x 9 - 1 9 ≤nx-1 得2x 2 +（1-9n）x+8≤0， 故△=（1-9n） 2 -64≥0， 解得n≤- 7 9 或n≥1，从而A=（-∞，-] 7 9 ∪[1，+∞） （3）显然|x 1 -x 2 |≥0，当且仅当n=- 7 9 或n=1时取得等号， 故m 2 +tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m?t+（m 2 +1）， 则有 g(-3)= m 2 -3m+1≤0 g(3)= m 2 +3m+1≤0 ， 即 3- 5 2 ≤m≤ 3+ 5 2 -3- 5 2 ≤ m≤ -3+ 5 2 ， 故m∈?，不存在这样的实数m