【解析图片】设二次函数f(x)=ax 2 +bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)

【解析图片】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立.(1)求f(x)的表达式... 【解析图片】设二次函数f(x)=ax 2 +bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x 2 -3x+3恒成立.(1)求f(x)的表达式;(2)若关于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求实数n的取值的集合A.(3)若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x 1 ,x 2 ,试问:是否存在实数m,使得不等式m 2 +tm+1≤|x 1 -x 2 |对任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. 展开
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七殿哥哥3669
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(1)由x-1=x 2 -3x+3可得x=2,
故由题可知1≤f(2)≤1,
从而f(2)=1.
因此
a-b+c=0
4a+2b+c=1

故b=
1
3
-a,c=
1
3
-2a.由x-1≤f(x)
得ax 2 -(
2
3
+a)x+
4
3
-2a≥0对x∈R恒成立,
故△镇皮=(
2
3
+a) 2 -4a(
4
3
-2a)≤0,
即9a 2 -4a+
4
9
≤0,
解得a=
2
9

故f(x)=
2
9
x 2 +
x
9
-
1
9

(2)由
2
9
x 2 +
x
9
-
1
9
≤nx-1
得2x 2 +(1-9n)x+8≤0,
故△=(1-9n) 2 -64≥0,
解得n≤-
7
9
或n≥1,从而A=(-∞,-]
7
9
∪[1,+∞)
(3)显御闭差然|x 1 -x 2 |≥0,当且仅当n=-
7
9
或n=1时取得等号,
故m 2 +tm+1≤0对t∈[-3,3]恒成立.记g(t)=m?t+(m 2 +1),
则有
g(-3)= m 2 -3m+1≤0
g(3)= m 2 +3m+1≤0

3-
5
2
≤m≤
3+
5
2
-3-
5
2
≤ m≤
-3+
5
2

故m∈?,不存在这态差样的实数m
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