Question

已知函数f(x)＝loga(ax?x)(a＞0，a≠1)（1）求函数f（x）的定义域（2）若a=2，求f（x）在区间[1，4]上的

已知函数f(x)＝loga(ax?x)(a＞0，a≠1)（1）求函数f（x）的定义域（2）若a=2，求f（x）在区间[1，4]上的最值；（3）讨论f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

（1）由ax?

x

＞0，得

x

(a

x

?1)＞0
∵a＞0，

x

＞0，∴a

x

?1＞0，∴

x

＞

1

a

，∴x＞

1

a2

∴函数定义域为{x|x＞

1

a2

，a＞0，a≠1}；
（2）若a=2，则f(x)＝log2(2x?

x

)，x∈(

1

4

，+∞)
令t=2x-

x

，求导数可得t′=2-

1

2 x

＞0，x∈[1，4]
可得函数t=2x-

x

在x∈[1，4]上单调递增，
由复合函数的单调性可得f（x）在[1，4]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=log₂（2-1）=0，
f(x)max＝f(4)＝log2(8?

4

)＝log26；
（3）设x1，x2∈(

1

a2

，+∞)，且x₁＜x₂
则(ax1?

x1

)?(ax2?

x2

)＝a(x1?x2)?(

x1

?

x2

)＝(

x1

?

x2

)[a(

x1

+

x2

)?1]
∵x