已知，如图， ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从
已知，如图，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/...
已知，如图， ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？（2）设四边形ANPM的面积为y（cm 2 ），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是 ABCD面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由
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| 解：（1）若四边形AQDM是平行四边形，则PA=PD，反之也成立， ∵AD=3，PA=3t，∴PD=3－3t。 ∴3t=3－3t，解得  。∴当 时，四边形AQDM是平行四边形。（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。∴∠MAP=∠QDP。 又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP。 ∴  。∴ ，解得 。∵AB=CD=1，∴  。∵MN⊥BC，∠B=45°，∴  。∴ 。又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。 又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD。 ∴   。∴y与t之间的函数关系式为  （0＜t＜1）。（3）存在。 假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是  ABCD面积的一半， 则 ，即 ，解得 （舍去）。∴当  时，四边形ANPM的面积是 ABCD面积的一半。（4）存在。 假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成  的两部分， 设NP与AC相交于点E，则AE：EC= 或AE：EC= 。当AE：EC= 时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴△APE∽△CNE。 ∴  。∴ ，解得 。当AE：EC＝ 时，同理可得： ，即 ，解得： ，∴当 或 时，NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分。 |
| 试题分析：（1）根据若四边形AQDM是平行四边形，则PA=PD，列式即可得解。 （2）应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出 ，从而应用转换思想，由  即可求得y与t之间的函数关系式。（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是 ABCD面积的一半， 则 ，解出即可。（4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分， 设NP与AC相交于点E，则分AE：EC=
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因为四边形AQDM是平行四边形，所以PA=PD，即3t=3-3t,解得：t=1/2
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