Question

已知直线y=﹣x+1与椭圆 =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求椭圆的标准

已知直线y=﹣x+1与椭圆 =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈ 时，求椭圆的长轴长的最大值．

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Answer 1

解（1）∵e= ．又2c=2，解得a= ， 则b= ∴ （2）由 消去y得（a 2 +b 2 ）·x 2 ﹣2a 2 ·x+a 2 ·（1﹣b 2 ）=0， 由△=（﹣2a 2 ） 2 ﹣4a 2 （a 2 +b 2 ）（1﹣b 2 ）＞0， 整理得a 2 +b 2 ＞1． 设A（x 1 ，y 1 ，），B（x 2 ，y 2 ）， 则x 1 +x 2 = ． ∴y 1 y 2 =（﹣x 1 +1）（﹣x 2 +1）=x 1 x 2 ﹣（x 1 +x 2 ）+1． ∵OA⊥OB（其中O为坐标原点）， ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，即2x 1 x 2 ﹣（x 1 +x 2 ）+1=0． ∴ +1=0． 整理得a 2 +b 2 ﹣2a 2 b 2 =0． ∵b 2 =a 2 ﹣c 2 =a 2 ﹣a 2 e 2 ，代入上式得 2a 2 =1+ ， ∴a 2 = ． ∵e∈ ∴ ， ∴ ， ∴ ≤2，∴ ≤3， ∴ ，适合条件a 2 +b 2 ＞1， 由此得 ． ∴ ， 故长轴长的最大值为