Question

已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc= （1）是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长；

已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc= （1）是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。（2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△ABC周长的最小值。

Answer 1

（1）存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4，5，6或3，7，8，（2）△ABC的周长最小值为 ，当且仅当 时，取得此最小值

（1）不妨设整数a≥b≥c，显然c≥2。 若c≥5，这时 由 ，可得 。 矛盾。 故c只可能取2，3，4。 当c=2时， ，有 又a≥b≥2，故无解。 当c=3时， ，即 又a≥b≥3，故 或 或 解得 或 或 能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。 当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。 能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。 故存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4，5，6或3，7，8 （2）由 ，可得 所以， 又 ，则有 故△ABC的周长最小值为 ，当且仅当 时，取得此最小值。