Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosA+C2＝12．（1）若a=3，b=7，求c的值；（2）若f（A

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosA+C2＝12．（1）若a=3，b=7，求c的值；（2）若f（A）=sinA（3cosA-sinA），求f（A）的取值范围．

Answer 1

（1）在△ABC中，A+B+C=π，
∴cos

A+C

2

=cos

π?B

2

=sin

B

2

=

1

2

，
∴

B

2

=

π

6

，即B=

π

3

，
∵a=3，b=

7

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即7=9+c²-3c，
整理得：c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2；
（2）f（A）=sinA（

3

cosA-sinA）=

3

2

sin2A-

1?cos2A

2

=sin（2A+

π

6

）-

1

2

，
由（1）得B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即A∈（0，

2π

3

），
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

3π

2

），
∴sin（2A+

π

6

）∈（-1，1]，
∴f（A）∈（-

3

2

，

1

2

]，
∴f（A）的取值范围是（-

3

2

，

1

2

]．