Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G，连接AG交CD

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；（2）若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的相等数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE= ，AK= ，求FG的长．

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Answer 1

（1）由∠KGE=∠AKH=∠GKE可证KE=GE （2）由△GKD∽△EGK可证得KG 2 =KD?GE （3）FG=

试题分析：解：（1）证明：如答图1，连接OG． ∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°．………1分 ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°． 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG． ……………2分 ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE．∴KE=GE．………3分 （2） =KD·GE．理由如下： 连接GD，如答图2所示． ∵AC∥EF，∴∠E=∠C．　　　…………………４分 又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD． ∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK．…………5分 ∴ ．∴KG 2 =KD?GE．…………………6分 （3）连接OG，OC，如答图3所示． 由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH= ．………7分 ∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t． ∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t．∴HK=CK﹣CH=t． 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH 2 +HK 2 =AK 2 ， 即（3t） 2 +t 2 = ，解得t= ．…………………8分 设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH 2 +CH 2 =OC 2 ，即（ ﹣3t） 2 +（4t） 2 = 2 ． 解得 ．    ………………………………………………………9分 ∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形．   在Rt△OGF中，OG= = ，tan∠OFG=tan∠CAH= ＝ ， ∴FG= ．     ……………………………………10分 点评：此题比较综合，把几个知识点综合起来考察，主要要求学生对学过知识的提取与运用。