Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．（Ⅰ）求证：CB1⊥

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．

Answer 1

（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，且侧面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C₁   　　　　　　 　　…（2分）
∵CB₁?平面BB₁C₁C，∴AB⊥CB₁．…（4分）
∵BC=CC₁，CC₁⊥BC，∴BCC₁B₁是正方形，
∴CB₁⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴CB₁⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）取AC₁的中点F，连BF、NF．…（7分）
在△AA₁C₁中，N、F是中点，
∴NF

∥

.

1

2

AA₁，
又∵正方形BCC₁B₁中BM

∥

.

1

2

AA₁，
∴EF∥BM，且EF=BM…（8分）
故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分）
∵BF?面ABC₁，MN?平面ABC₁，
∴MN∥面ABC₁…（12分）