某市将建一个制药厂,但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气,这将造成极大的环境污染.为了保护环
某市将建一个制药厂,但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气,这将造成极大的环境污染.为了保护环境,市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放:该设备可以...
某市将建一个制药厂,但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气,这将造成极大的环境污染.为了保护环境,市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放:该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体.经测算,制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y(元)与废气处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y=40x+1200, 0<x<402x2?100x+5000,40≤x≤80,且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理.(1)若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时,那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元?(2)若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨,且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量,求x的取值范围;(3)若该制药厂每天废气处理量计划定为x(40≤x≤80)吨,且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金,求a的值.
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(1)由题意可知,当废弃处理量x满足0<x<40时,每天利用设备处理废气的综合成本y=40x+1200,
∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨,即x=20时,
每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元,
又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元,
∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元;
(2)由题意可知,y=
,
①当0<x<40时,令80x-(40x+1200)≥0,解得30≤x<40,
②当40≤x≤80时,令80x-(2x2-100x+5000)≥0,即2x2-180x+5000≤0,
∵△=1802-4×2×5000<0,
∴x无解.
综合①②,x的取值范围为30≤x<40,
故当该制药厂每天废气处理量计划为[30,40)吨时,工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量;
(3)∵当40≤x≤80时,投入资金为80x-(2x2-100x+5000),
又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金,
∴当40≤x≤80时,不等式80x+ax-(2x2-100x+5000)≥0恒成立,
即2x2-(180+a)x+5000≤0对任意x∈[40,80]恒成立,
令g(x)=2x2-(180+a)x+5000,
则有
,即
,即
∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨,即x=20时,
每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元,
又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元,
∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元;
(2)由题意可知,y=
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①当0<x<40时,令80x-(40x+1200)≥0,解得30≤x<40,
②当40≤x≤80时,令80x-(2x2-100x+5000)≥0,即2x2-180x+5000≤0,
∵△=1802-4×2×5000<0,
∴x无解.
综合①②,x的取值范围为30≤x<40,
故当该制药厂每天废气处理量计划为[30,40)吨时,工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量;
(3)∵当40≤x≤80时,投入资金为80x-(2x2-100x+5000),
又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金,
∴当40≤x≤80时,不等式80x+ax-(2x2-100x+5000)≥0恒成立,
即2x2-(180+a)x+5000≤0对任意x∈[40,80]恒成立,
令g(x)=2x2-(180+a)x+5000,
则有
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