Question

设函数f（x）=13x3-a2x2+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，（1）确定b

设函数f（x）=13x3-a2x2+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，（1）确定b，c的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时，f′（x1）≠f′（x2）；（3）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，
∴f（0）=c，f′（x）=x²-ax+b，f′（0）=b；
又∵y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
∴f（0）=1，f′（0）=0．
∴b=0，c=1．
（2）∵b=0，c=1时，f(x)＝

1

3

x3?

a

2

x2+1，f′(x)＝x2?ax．由于点(t，f(t))处的切线方程为
y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，
∴2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得

2

3

t3?

a

2

t2+1＝0，即t满足的方程为

2

3

t3?

a

2

t2+1＝0．
下面用反证法证明．
假设f'（x₁）=f'（x₂），由于曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：

2 3 x13? a 2 x12+1＝0① 2 3 x23? a 2 x22+1＝0② x12?ax1＝x22?ax2③

；
由③得x₁+x₂=a，
由①-②得x12+x₁x₂+x22=

3

4

a²④；
又x1

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