Question

已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=2n+7-2an．（1）求证：{an-2}为等比数列；（2）是否存在实数k，使得a

已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=2n+7-2an．（1）求证：{an-2}为等比数列；（2）是否存在实数k，使得an≤n3+kn2+9n对于任意的n∈N*都成立，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）n=1时，a₁=S₁=2+7-2a₁，解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2-2a_n+2a_n-1，
即3a_n=2a_n-1+2，
∴an?2＝

2

3

(an?1 ?2)，
∴{a_n-2}是首项为1，公比为

2

3

的等比数列．
（2）由（1）知an?2＝( 

2

3

)n?1，
∴an＝2+(

2

3

)n?1，
由2+（

2

3

）^n-1≤n³+kn²+9n，
得k≥

2

n2

+

( 2 3 )n?1

n2

?(n+

9

n

)．
∴只需求出P(n)＝

2

n2

+

( 2 3 ) n?1

n2

?(n+

9

n

)的最大值即可．
设f(n)＝

2

n2

，g(n)＝ 

( 2 3 )n?1

n2

，h(n)＝?(n+

9

n

)，
∵n∈N^*，∴f（n）单调递减．
∵

g(n)

g(n+1)

＝

(  2 3 )n?1

n2

÷

( 2 3 )n

(n+1)2

=

3

2

(

n+1

n

)2＞1，
∴g（n）＜g（n+1），
故g（n）单调递减．
h(n)?h(n+1)＝(n+1+

9

n+1

) ?(n+

9

n

)=

n2+n?9

n(n+1)

，
当n≥3时，h（n）＞h（n+1），
故n≥3时，h（n）单调递减．
∴n≥3时，P(n)＝

2

n2

+

( 2 3 ) n?1

n2

?(n+

9

n

)随着n的增大而减小，
∵p（1）=-7，p(2)＝?

35

6

，p(3)＝? 

464

81

，
∴p（n）的最大值为p（3）=-

464

81

．
故k≥?

464

81

．