Question

（2014?宝应县二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB为直径作⊙O．（1）如图①，⊙O与DC相切于点E

（2014?宝应县二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB为直径作⊙O．（1）如图①，⊙O与DC相切于点E，试说明：∠BAE=∠DAE；（2）如图②，⊙O与DC交于点E、F．①哪一个角与∠BAE相等？为什么？②试探究线段DF与CE的数量关系．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵⊙O与DC相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵∠D=90°，
∴AD∥OE，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠BAE=∠DAE；

（2）解：①∠DAF与∠BAE相等，理由如下：
连接BE，
∵AB为直径作⊙O，
∴∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABEF是⊙O的圆内接四边形，
∴∠ABE=∠AFD，
又∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
②DF=CE，理由如下：
连接AN，NE，
∵AB为直径作⊙O，
∴∠BNA=90°，
∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠ANC=∠C=90°，
∴四边形ANCD是矩形，
∴AD=NC，
∴∠ENC=∠BAE，
∵∠DAF=∠BAE，
∴∠DAF=∠ENC，
在△DAF和△CNE中，

∠D＝∠C DA＝NC ∠DAF＝∠CNE

，
∴△DAF≌△CNE（ASA），
∴DF=EC．