Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2

已知椭圆x2a2+y2b2=1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e=12，则AP?FP的取值范围是______．

Answer 1

∵该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，
∴a=2，
∵离心率e=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
设P（x，y），
又A（-2，0），F（-1，0），
∴

AP

=(2+x，y)，

FP

=(x+1，y)，

AP

?

FP

=（x+2，y）?（x+1，y）=（x+2）（x+1）+y²
=

1

4

x2+3x+5，（-2≤x≤2）
对称轴为x=-6
当x=-2时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值12，
故答案为[0，12]