Question

（2014?铁岭）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线

（2014?铁岭）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是1，AC=DE，∠ABC=45°，求OH的长．





Answer 1

（1）如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠FCG=90°，
∵P是GF的中点，
∴PC=PF=PG，
∴∠PCG=∠PGC，
∵∠PGC=∠HGA，DE⊥AB
∴∠A+∠HGA=90°，
∴∠A+∠PGC=90°，
∵∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠HGA=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OE，交AC于点M，

∵AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，
∴

AD

＝

AE

，
∵

AC

=

DE

，
∴

AE

＝

EC

，
∴OE⊥AC，
∴∠OMA=90°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠AOM=45°，
∵AO=1，
∴OM=

2

2

，
∵

AC

=

DE

，
∴AC=DE，OH=OM，
∴OH=OM=

2

2

．