Question

已知：E是正方形ABCD内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，求证：△ABE是等边三角形，小萍同学灵活运用全等变换，

已知：E是正方形ABCD内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，求证：△ABE是等边三角形，小萍同学灵活运用全等变换，将△ECD进行旋转与翻折，使△ECD≌△FAD，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）证明：△DEF是等边三角形；（2）证明：△ECD≌△FAE；（3）证明：△ABE是等边三角形．

Answer 1

解答：证明：（1）∵∠ECD=∠EDC=15°，将△ECD进行旋转与翻折，使△ECD≌△FAD，
∴∠FDA=15°，DE=DF，
∴∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，
∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）；

（2）∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF=DE，∠DFE=∠DEF=60°，
∵DE=EC，DF=AF，
∴AF=EF，
∵∠ECD=∠EDC=15°，
∴∠DEC=150°，
∴∠DFA=150°，
∴∠AFE=360°-150°-60°=150°，
∴

DE＝FE ∠DEC＝∠AFE AF＝EC

，
∴△ECD≌△FAE（SAS）；

（3）∵△ECD≌△FAE，△ECD≌△FAD，
∴DC=AE，∠FAE=∠EDC=∠DAF=15°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．