Question

求助几道高等代数多项式的题

1.设a≠0，证明：(x^d-a^d)|(x^n-a^n)的充要条件是d|n，从充分和必要两方面证明.
2.设degf(x)>0，整数n>1，若f(x)|f(x^n)，证明：f(x)的根是0或单位根.
3.设I是整数集合Z的非空子集且满足：
(1)对任意m,n∈I有m-n∈I.
(2)对任意m∈Z和n∈I有mn∈I.
证明：存在整数k∈I使得I=Zk:={nk|n∈Z}
要有解析，谢谢

Answer 1

给你点提示

1. 充分性不解释
必要性利用带余除法n=kd+r, 0<=r<d

2. f的根都是f(x^n)的根

3. 首先0∈I，如果I≠{0}，考虑I中绝对值最小的非零元

追问

第二题f的根是f^n我知道，然后怎么证？

追答

λ是f(x)的根 => λ是f(x^n)的根 => λ^n是f(x)的根

先用反证法证明f的非零根的模一定是1
然后假定λ=exp(iπθ)是f(x)的根，且θ是无理数，λ，λ^n, λ^{n^2}, ...都是f(x)的根，这些根两两不同，f就有无限个根，矛盾